El "porqué" de las soluciones NO VÁLIDAS

EL "PORQUÉ" DE LAS SOLUCIONES "NO VÁLIDAS" AL ELEVAR AMBOS MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN AL CUADRADO.

Presentamos el resultado de una experiencia llevada a cabo en el aula con alumnos de 15/16 años, de 4º de ESO, opción B, donde podremos observar diferentes estrategias educativas que han surgido con la aparición de las nuevas tecnologías, para afrontar la enseñanza de las Matemáticas. Comprobaremos la posibilidad de demostrar de forma "gráfica" contenidos realizados con las Matemáticas tradicionales, que siempre nos hemos tenido que creer porque SÍ.

¿Por qué al elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación podemos obtener soluciones NO VÁLIDAS?.

Al modificar los procedimientos de enseñanza, propondremos una nueva organización de la clase, incluyendo nuevos tipos de actividades ALTERNATIVAS donde la reflexión, la toma de decisiones y la aplicación sean el objetivo fundamental.

Presentamos el resultado de una experiencia llevada a cabo en el aula con alumnos de 15/16 años, de 4º de ESO, opción B, donde podremos observar diferentes estrategias educativas que han surgido con la aparición de las nuevas tecnologías, para afrontar la enseñanza de las Matemáticas. Comprobaremos la posibilidad de demostrar de forma "gráfica" contenidos realizados con las Matemáticas tradicionales y que siempre nos hemos tenido que creer porque el "profesor" lo decía, pero que generalmente no llegamos a entender jamás.

Se plantea la siguiente pregunta y se deja una semana para que cada alumno investigue la posible respuesta:

Resuelve la siguiente ecuación irracional por métodos matemáticos tradicionales:

- "Se lo pregunté a mi profesor particular, me lo explicó, pero no entendí lo que me dijo".

- "... porque elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo, y si son números diferentes, al hacer operaciones distintas en cada miembro, se quita la igualdad".

- "No tengo ni idea" - confesaron casi todos -¡ni quien me lo aclare!

La verdad es que nadie de la clase trajo nada consistente, aún cuando les había prometido un punto "extra" para el próximo examen.

Al modificar los procedimientos de enseñanza, propondremos una nueva organización de la clase, coexistiendo, de forma simultánea, la matemática "tradicional" con otra más "innovadora", incluyendo nuevos tipos de actividades ALTERNATIVAS donde la reflexión, la toma de decisiones y la aplicación sean el objetivo fundamental.

La Organización de la enseñanza de las Matemáticas ha de cambiar inevitablemente sus objetivos, procedimientos y metodología para adecuar el impacto de la aparición de las NNTT. Entre ellas vamos a destacar la aparición de los nuevos modelos de máquinas de calcular, por su sencillez, pequeño tamaño, manejabilidad y precio, tal y como se está haciendo en todos los países "desarrollados", teniendo en cuenta el inconveniente de que la investigación para apoyar su didáctica está avanzando de forma "excesivamente" lenta.

Este ha sido el motor fundamental que nos ha llevado a realizar esta experiencia, englobada en un proyecto "piloto" en nuestro Centro de Enseñanza Secundaria, el IES Pérez de Ayala de Oviedo (España), con alumnos de 12-17 años.

Recuerda que "resolver una ecuación" es buscar el valor de "x" que verifique la igualdad del enunciado; vamos a comprobarlo en este ejercicio:

5 + 3 = 2x + 2x

8 = 4x

x=2

(A) Gráficamente:

5 – 2x = 2x – 3

(a) Consideraremos cada uno de los miembros de la ecuación como una función independiente:

y1 = 5 – 2x y2 = 2x – 3

(b) Comprobamos los infinitos valores (x, y) que pueden tomar cada una de las funciones.

(d) Representemos simultáneamente las 2 gráficas para observar cuándo y1 = y2 , con la ayuda del TRAZO:

y1 = 5 – 2x y2 = 2x – 3

Primer miembro:

y1 = 5 – 2x

Segundo miembro:

y₂ = 2x – 3

Representación

simultánea

Vamos a observar los valores de la función para un "x" cualquiera, por ejemplo para x = 1

y1 = 5 – 2x

y2= 2x – 3

Para conocer el punto exacto que verifica que y1 = y2 averiguamos el punto de corte de ambas rectas o comprobamos para qué valor de "x" las 2 funciones son iguales, generando una tabla de valores de manera rápida y sencilla:

y1 = y2

Para x=2 ambas funciones alcanzan el mismo valor y=1; es decir, la ecuación se verifica para x = 2

ANALICEMOS QUÉ LE PASA A UNA ECUACIÓN CUANDO SE LE APLICA UNA MISMA OPERACIÓN A AMBOS MIEMBROS:

¡¡ Claro, si a ambos miembros de una igualdad le efectuamos lo mismo, NO PASA NADA!!

2=2

2+1=2+1

2/3=2/3

2·3=2·3

2²=2²

Y1= 5 – 2x + 1

Y2= 2x – 3 + 1

Y1= 5 – 2x + 2

Y2= 2x – 3 + 2

Y1= 5 – 2x + 3

Y2= 2x – 3 + 3

Los valores que toman las funciones en cada momento son distintos (y=2; y=3; y=4) pero el valor de "x" donde se cortan sigue siendo el mismo, es decir, la solución de la ecuación no varía.

Y1= 5 – 2x - 1

Y2= 2x – 3 - 1

Y1= 5 – 2x - 2

Y2= 2x – 3 - 2

Y1= 5 – 2x - 3

Y2= 2x – 3 - 3

Los valores que toman las funciones en cada momento siguen siendo distintos pero el valor de "x" donde se cortan es el mismo, es decir, la solución de la ecuación no varía.

Y1= (5 – 2x)·1.5

Y2=(2x – 3)·1.5

Y1= (5 – 2x)·2

Y2=(2x – 3)·2

Y1= (5 – 2x)·2.5

Y2=(2x – 3)·2.5

Los valores que toman las funciones en cada momento siguen siendo distintos pero el valor de "x" donde se cortan es el mismo, es decir, la solución de la ecuación no varía.

Al realizar cualesquiera de estas operaciones no se modifican los elementos geométricos, siguen siendo rectas, por lo que el número de soluciones y las propias SOLUCIONES siguen siendo las mismas.

que pasaría si multiplicamos ambos miembros por una misma incógnita, por una misma variable.

Al multiplicar por "x" lo que hacemos es que cada función sea de un grado superior y, por lo tanto, adopte una nueva forma. Así, el número de soluciones (puntos de corte) aumenta siendo, en este caso concreto, una de ellas la misma pero la otra, aún siendo válida en la nueva ecuación, NO ES VÁLIDA en la ecuación del enunciado.

"Elevar al cuadrado es un recurso muy utilizado en la resolución de ecuaciones irracionales"

Vamos a ver unos cuantos ejemplos que ilustren estas cuestiones realizadas habitualmente y con destreza en la matemática tradicional, con lápiz y papel, y así comprender los resultados obtenidos utilizando metodologías alternativas:

y1= √(3x - 2)

y2= 4

y1 = 3x - 2

y2= 16

Aunque por métodos algebraicos originamos modificaciones en las funciones, con sus correspondientes cambios de comportamiento, según se puede ver en sus gráficas y en las tablas de valores, en este caso sigue manteniéndose el valor de "x" (x=6) en el punto de corte.

y1= √(7 - 3x) - x

y2= 7

y1= 7 - 3x

y2= 49 + x² + 14x

y1= 7 - 3x

y2= 49 + x² + 14x

Por métodos algebraicos originamos modificaciones en las funciones, con sus correspondientes cambios de comportamiento, según se puede ver en sus gráficas y en las tablas de valores. Aunque sigue manteniéndose el valor de "x" (x=-3) en el punto de corte, en este caso aparece uno nuevo (x=-14) que se desecha.

Ecuación del enunciado

Ecuación después de la transformación

y1=√(x + 1) + √(x - 4)

y2= 1

y1= -2√(x - 4)

y2= 4

y1= 16

y2= 4(x - 4)

y1= √(x + 1) + √(x - 4)

y2= 1

y3= -2√(x - 4)

y4= 4

y1= 16

y2= 4(x - 4)

Por métodos algebraicos originamos modificaciones en las funciones, con sus correspondientes cambios de comportamiento, según se puede ver en sus gráficas y en las tablas de valores. En este caso aparece un nuevo valor (x=8) que se desecha, ya que no existe ningún valor real que verifique la ecuación del enunciado inicial.

y1= √(3x + 4) - √(x - 3)

y2= 3

y1= √(3x + 4) - √(x - 3)

y2= 3

y3= 2x – 2

y4= 6 √(x - 3)

y3= 2x – 2

y4= 6√(x - 3)

y5= 4x²+ 4 - 8x

y6= 36(x - 3)

y5= 4x²+ 4 - 8x

y6= 36(x - 3)

Por métodos algebraicos originamos modificaciones en las funciones, con sus correspondientes cambios de comportamiento, según se puede ver en sus gráficas y en sus tablas de valores. En este caso se mantienen los 2 valores (x=4 ; x=7) que verifican la ecuación del enunciado inicial.

Es decir, al elevar al cuadrado una función pasa a ser de grado superior, con las modificaciones geométricas correspondientes, que hacen que su forma pueda ser diferente y, por lo tanto, los puntos de corte pueden ser iguales, distintos o más numerosos. Es por ello que hay que verificar cuál de los valores obtenidos sigue verificando la ecuación inicial.

La inclusión de estas nuevas herramientas educativas matemáticas de última generación ha supuesto un enriquecimiento en la adquisición de conceptos y en la búsqueda de métodos alternativos a los "tradicionales", posibilitando una metodología "más innovadora" que se ha traducido en unos mejores resultados académicos con respecto a los correspondientes grupos "testigo", donde no se han utilizado en ningún momento este tipo de máquinas. Se observó una mejor predisposición hacia la asignatura, más en consonancia con la realidad que rodea al alumno, contrastada con los cuestionarios realizados al final del proyecto.

Es hora de comenzar a derribar esos "muros infranqueables" que presenta la enseñanza secundaria, y no digamos la primaria, esclava de los algoritmos y del cálculo mecánico que, como profesores, vamos transmitiendo de generación en generación, en la búsqueda del objetivo fundamental que es:

Recordando a Miguel de Guzmán, quien con sus enseñanzas me hizo comprender la importancia de las demostraciones visuales en la práctica matemática diaria del aula.